Así lo entiende el profesor de la Universidad Politécnica de Madrid (UPM) Ignacio Romero Olleros, distinguido este año con el Premio Zienkiewicz, un galardón que lleva el nombre de Olek Zienkiewicz, “padre” del método de los elementos finitos y doctor “Honoris Causa” por la misma universidad. El premio se concede cada dos años al trabajo del investigador menor de 40 años que más contribuya a la investigación en el área de los métodos numéricos aplicados a la ingeniería, otorgado por la Institution of Civil Engineers de Londres.
Ignacio Romero es catedrático del área de conocimiento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de la UPM. Su ensayo “Algoritmos termodinámicamente consistentes para la integración temporal de sistemas termomecánicos no lineales”, galardonado con este premio, formula los primeros métodos numéricos de amplia aplicación que garantizan soluciones que satisfacen las leyes de la termodinámica de forma exacta.
¿En qué consiste su propuesta?
En los últimos treinta años la simulación se ha convertido, por méritos propios, en uno de los tres pilares sobre los que se avanza en la ciencia (junto con la teoría y la experimentación). Esto es fruto del aumento espectacular de la capacidad de cálculo y de la disminución del coste de los ordenadores, pero también del avance en la formulación de métodos numéricos cada vez más precisos.
El concepto de “precisión” habría que matizarlo, pero de forma simplificada se puede decir que los “métodos precisos” son aquellos que formulan y construyen modelos “virtuales” en los ordenadores, que se comportan de forma similar a los cuerpos y procesos “reales”. Hay resultados numéricos con los que estaríamos satisfechos si tuviéramos una precisión del 5%. Sin embargo, hay aspectos “cualitativos” de los modelos numéricos que es deseable reproducir exactamente, sin error alguno. Por ejemplo, si simulamos el movimiento de un planeta alrededor del sol, podemos aceptar un cierto error en el cálculo del tiempo que el planeta tarda en recorrer una vuelta completa, pero nos gustaría que sus órbitas fueran cerradas. Si esto fuera posible se podría decir que lo que el ordenador proporciona es un modelo que, independientemente de los errores (inevitables) en el cálculo de la trayectoria y de la velocidad, se comporta como si fuera un planeta.
El estudio de métodos numéricos que proporcionan soluciones “cualitativamente correctas” para problemas de mecánica clásica (Hamiltonianos) está muy avanzado y ha habido numerosos trabajos en los últimos 30 años, muchos de ellos de investigadores españoles. El artículo premiado va un paso más allá y propone, por primera vez, una manera de formular métodos numéricos “cualitativamente correctos” para muchos más tipos de problemas, asegurando que las formulaciones que resultan satisfagan, de forma exacta, las leyes de la termodinámica, que son lo más esencial de todo fenómeno físico.
Se consiguen simulaciones con ese comportamiento tan preciso. No obstante, ¿hasta qué punto son exactos los modelos que se utilizan en la actualidad?
Hay muchas empresas comercializando códigos de simulación e investigadores trabajando para construir modelos numéricos fiables. Por esto, los avances en las últimas décadas han sido espectaculares, no sólo en precisión, sino también en el tipo de problemas que ahora somos capaces de abordar. Pero queda mucho por hacer: la realidad es extremadamente compleja y los modelos matemáticos que se emplean han de enriquecerse. El objetivo es que la simulación sirva para comprender la realidad y para predecir su comportamiento.
Los algoritmos que usted presenta en su trabajo preservan las leyes de la termodinámica, sin embargo hay otras propiedades físicas que no consiguen mantener. ¿Por qué es tan importante que un modelo cumpla con los principios termodinámicos? ¿Qué validez presentan las soluciones de problemas resueltos con algoritmos que no preservan las leyes físicas?
Las leyes de la termodinámica son los principios básicos de todo fenómeno físico y, puestos a elegir, son los más importantes para guiar la formulación de métodos numéricos. Cuando lo que se pretende con un modelo numérico no sólo es calcular, sino sobre todo comprender los fenómenos naturales es crucial que los modelos, aunque con imprecisiones propias de toda aproximación, capturen la esencia sin error. Volviendo al ejemplo mencionado anteriormente, casi todos los métodos numéricos estándar, cuando se emplean para resolver el problema de un planeta girando alrededor de una estrella introducen errores en las órbitas de tal manera que el planeta describe espirales que en unos casos lo alejan, en otros lo acercan, a la estrella. Este error es pequeño, y casi imperceptible si sólo se simula un periodo, pero no deja de ser serio pues, si no tuviéramos soluciones analíticas pensaríamos, por ejemplo, que la Tierra acabará saliendo despedida del sistema solar o abrasada en el Sol. Este problema es muy sencillo, pero ilustra el objetivo fundamental: o se desarrollan métodos cualitativamente correctos, o la simulación no nos ayudará a comprender la naturaleza.
Existen otras razones de índole más técnica. Por ejemplo, el hecho de que los procesos naturales cumplan las leyes de la termodinámica está relacionado con la estabilidad de los estados de equilibrio, entendida como una cierta invariabilidad frente a pequeñas perturbaciones. Pues bien, los métodos numéricos que preservan las leyes de la termodinámica también heredan esa “estabilidad”.
El trabajo que ha desarrollado se ha centrado en algoritmos para la simulación de problemas termomecánicos. ¿Los algoritmos y las ideas que ha presentado en su trabajo podrían extenderse a otros tipos de sistemas físicos? ¿En qué otros problemas de ingeniería, donde la termodinámica es central, podría ser beneficioso adaptar sus algoritmos?
Mi trabajo es de carácter más bien teórico en cuanto que no intenta resolver ningún problema en particular, sino que describe un marco general que creo que es de gran utilidad. Por mi experiencia y por los campos que me son más afines, la metodología se aplicó inicialmente para la resolución de problemas acoplados de termo-elasticidad. Después, junto con otros investigadores, estas ideas se han ido aplicando a problemas más complejos como termoviscoelasticidad y cambios de fase en materiales. Seguimos explorando posibles aplicaciones que abordaremos en la medida de nuestras posibilidades: procesos termoeléctricos, flujo en medios porosos, fluidos, etc.
En general, cada vez es mayor el ámbito de aplicación de los métodos numéricos para resolver problemas físicos. ¿Puede considerarse también que sus resultados son además cada vez más precisos y reflejan mejor la realidad?
En efecto, el estado del arte permite resolver cada vez con más precisión multitud de problemas físicos de interés práctico. Al mismo tiempo, cada vez nos ponemos la meta más lejos y se estudian problemas más complejos, a escalas más grandes o más pequeñas, con más campos acoplados, con menos simplificaciones.
En el caso de su investigación, ¿a qué campos se abren sus aplicaciones?
El trabajo premiado tiene aplicación, en general, a problemas “acoplados”, en los que dos o más campos físicos interactúan. Hemos comprobado que los algoritmos resultantes, además de proporcionar una mejor compresión de los fenómenos que simulan, son extremadamente robustos, con lo que una primera aplicación que hemos desarrollado es en el campo de los llamados sistemas multicuerpo. En segundo lugar, hemos obtenido resultados para la simulación del crecimiento dentrítico en metales fundidos. Su aplicación a mecánica de materiales es potencialmente muy amplia: higromecánica, acoplamiento de tensión y difusión, efecto Peltier … Nos queda mucho por explorar en este sentido.
Los algoritmos proporcionan una metodología de solución –sencilla o compleja- para diferentes problemas. ¿Cuál es su “debilidad”, si la tienen, y a qué puede conducir un fallo en la formulación de un modelo matemático?
Los métodos numéricos, en general, tienen el atractivo de ofrecer “una solución” a problemas muy complejos que no pueden resolverse analíticamente, y en un entorno controlado de difícil manipulación experimental. Su debilidad está, pienso, en creerse cualquier solución obtenida. Todos los métodos tienen error y se necesita capacidad crítica parar valorar los resultados numéricos y comprender los modelos matemáticos subyacentes. Los códigos de cálculo proporcionan resultados espectaculares y muy vistosos…, no necesariamente correctos. Un fallo en la selección del modelo matemático, o del método numérico puede dar lugar a resultados completamente erróneos.
En ingeniería, como en cualquier otra rama de la ciencia, se formulan modelos matemáticos de la realidad para poder explicar su comportamiento actual y predecir su comportamiento futuro. ¿Adónde pueden llevarnos y cómo se verá beneficiada la sociedad de la aplicación de simulaciones numéricas?
En primer lugar, los factores económicos son casi siempre los que hacen que una determinada “tecnología” avance. En el caso de los métodos numéricos, el ahorro en ingenieros dedicados al cálculo, en instalaciones de ensayo, y en el tiempo de cálculo ha sido tremendo. En segundo lugar, los métodos numéricos y la simulación, en general, permiten estudiar situaciones inexistentes, realizar “ensayos virtuales”, y probar prototipos, o condiciones extremas sin peligro y con un coste reducido. Si bien la simulación no puede acabar con los estudios teóricos ni la experimentación, no cabe duda de que los complementa, y nos ayuda a comprender mejor la naturaleza.
Por otra parte, usted mismo ha explicado que cada disciplina de la ciencia y la ingeniería “tiene su lenguaje, que ha ido evolucionando con los años y que permite su descripción de la forma más clara y sencilla posible”. ¿Cuál es el lenguaje actual de los métodos numéricos?
En mi opinión, el lenguaje actual de los métodos numéricos es, en general, el análisis funcional. En menor medida, y dependiendo de su aplicación, también juegan un papel muy relevante la geometría diferencial, el álgebra lineal y todo lo relacionado con la programación. El diseño y análisis de métodos numéricos es una rama de las matemáticas en la que se combinan aspectos muy diversos y cada campo de aplicación se apoya en mayor medida en una parte de las matemáticas. En particular, todos los métodos numéricos para problemas de mecánica aplicada, mi campo de estudio, parten de ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales, así que este lenguaje también es básico.
¿Y su reto inmediato?
En la actualidad, después de 10 años de trabajo docente e investigador en la UPM, este curso disfruto de mi primer año sabático, en el Instituto Tecnológico de California. Aquí estoy trabajando en un campo de aplicación de los métodos numéricos totalmente nuevo para mí, el estudio de las propiedades electrónicas de los átomos y de nanopartículas. Este es un problema extremadamente complejo pero fundamental para el desarrollo de la nanotecnología. Existen formulaciones capaces de calcular la estructura electrónica de nanopartículas con cientos o incluso algunos pocos miles de átomos. El reto es desarrollar métodos de simulación capaces de extender estos cálculos a decenas de miles de átomos.
UPM/SINC
