El teorema de imposibilidad de Arrow, también llamado la paradoja de Arrow, e irónicamente, el teorema de la imposibilidad de la democracia, demuestra que no es posible diseñar reglas para la toma de decisiones sociales o políticas que obedezcan a un cierto conjunto de criterios «razonables». Kenneth Arrow fue premio Nobel de Economía en 1972, junto con el británico Sir John R. Hicks, por sus teorías sobre el equilibrio general económico y el bienestar.
Una sociedad necesita acordar un orden de preferencia entre diferentes opciones. Cada individuo en la sociedad tiene su propio orden de preferencia personal. El problema es encontrar un mecanismo general (una función de selección social) que transforme el conjunto de los órdenes de preferencia individuales en un orden de preferencia para toda la sociedad.
La Paradoja de Arrow (o Teorema de imposibilidad) establece que cuando se tienen tres o más alternativas para que un cierto número de personas voten por ellas, no es posible diseñar un sistema de votación que permita generalizar las preferencias de los individuos hacia una preferencia global de la comunidad, de modo que al mismo tiempo se cumplan ciertos criterios «racionales»:
- Dominio no restringido: el mecanismo de votación debería poder procesar todos los conjuntos posibles de preferencias de los votantes.
- Que no exista un «dictador», es decir, de una persona que tenga el poder para cambiar las preferencias del grupo.
- Eficiencia de Pareto: El “Áptimo de Pareto” simplemente indica una situación en la cual no se puede mejorar la situación de alguien sin hacer que algún otro este peor.
- Independencia de alternativas irrelevantes: los temas votados deben ser claros, netos y precisos.
Pero ya en 1785, Condorcet publicó el “Ensayo sobre la aplicación del análisis a la probabilidad de las decisiones sometidas a la pluralidad de voces”. En esta obra, explora la paradoja de Condorcet, que describe como las decisiones adoptadas por una mayoría popular siguiendo un modelo de escrutinio pueden ser incoherentes con respecto a las que adoptaría un individuo racional. Y planteó un ejemplo sencillo:
Considemos por ejemplo una asamblea de 60 votantes que deben elegir entre tres propuestas a, b y c. Las preferencias se manifiestan de este modo (entendiendo que a > b representa el hecho de que se prefiere a a b):
23 votantes prefieren: a > c > b
19 votantes prefieren: b > c > a
16 votantes prefieren: c > b > a
2 votantes prefieren: c > a > b
En un proceso de voto pluralista, a gana con 23 votos, sobre b con 19 votos y sobre c con 18, por lo que a > b > c.
Sin embargo, en las comparaciones por pares obtenemos:
35 prefieren b > a contra 25 para a > b
41 prefieren c > b contra 19 para b > c
37 prefieren c > a contra 23 para a > c
Lo que nos lleva a la preferencia mayoritaria c > b > a, exactamente contraria a la elección pluralista.
Hay que señalar que contrariamente a la creencia común, esta paradoja sólo cuestiona la coherencia de determinados sistemas de votación, no la de la propia democracia.
¡ Podemos comprobar que desde Condorcet a Arrow parece complicado encontrar un “óptimo” sistema de votación !
